5.6.2 複素数の系の構成


　はじめに，数ベクトル空間 ((2,＋),(,＋,×),×) の2 の要素に対する回転/倍の作用を定義しよう。

　先ず，集合Ｔをつぎのように定義する。即ち，+＝｛ｘ∈｜ｘ≧0｝として，+×の上の同値関係〜を，
(ρ,θ)〜(ρ′,θ′) ρ＝ρ′＝0
あるいは
ρ＝ρ′かつθ≡θ′(mod 2π)
で定義し，商集合 (+×)/〜をＴとする。

　ここで，ρを数ベクトルの倍，θを数ベクトルの回転角の単位ラジアンに対する値と解釈する。

　このとき，数ベクトル∈2に対する回転/倍の作用は，2の要素 (ｓcosｔ,ｓsinｔ)（ｓ≧0） に対するＴの要素 [ρ,θ] ── (ρ,θ) の属する同値類── の作用 # として，

(ｓcosｔ,ｓsinｔ)#[ρ,θ]
＝((ｓ×ρ)cos(ｔ＋θ),(ｓ×ρ)sin(ｔ＋θ))

で定義できる。


　ここで，Ｔをつぎの対応によって2と同一視する：

[ρ,θ] ←→ (１,０)#[ρ,θ]
＝(ρcosθ,ρsinθ) 　(ρ＞0)
このとき，作用#は，2の要素 (ｘ,ｙ) に対する2の要素 (ξ,η) の作用としては，

(ｘ,ｙ)#(ξ,η)＝(ｘ×ξ−ｙ×η,ｘ×η＋ｙ×ξ)
となる(註1)。

　いま，作用素∈2の間の二つの内算法＋，×を，つぎのように定義する：

(ｘ,ｙ)#((ξ,η)＋(ξ′,η′))＝(ｘ,ｙ)#(ξ,η)＋(ｘ,ｙ)#(ξ′,η′)
(ｘ,ｙ)#((ξ,η)×(ξ′,η′))＝((ｘ,ｙ)#(ξ,η))#(ξ′,η′) 　　　

このとき，
(ξ,η)＋(ξ′,η′)＝(ξ＋ξ′,η＋η′)
[ρ,θ]×[ρ′,θ′]＝[ρ×ρ′,θ＋θ′]
(ξ,η)×(ξ′,η′)＝(ξ,η)#(ξ′,η′)
であり(註2)，さらに
((ξ,η)＋(ξ′,η′))×(ξ″,η″) 　　　　　
＝(ξ,η)×(ξ″,η″)＋(ξ′,η′)×(ξ″,η″)
が成り立つ。

　特に,〈作用素としての2の要素〉の＋は,〈数ベクトルとしての2の要素〉の＋と同じ。〈数ベクトルとしての2の要素〉に対する〈作用素としての2の要素〉の作用#は,〈作用素としての2の要素〉の間の×と同じ。そして，＋と×は，加法と乗法の関係にある。

　さらに，(2,＋,×) は (０,０) を零元，(１,０) を単位元とする可換体になる。(ｘ,ｙ) の対称元が (−ｘ,−ｙ) で，[ｒ,θ]≠０の逆元が [ｒ-1,−θ]。

　そしてさらに，(2,＋,×) は数の系になる。

　いま，(2,＋,×) の要素 (ξ,η) に対する (,＋,×) の要素ζの作用が

(ξ,η)×ζ＝(ξ×ζ,η×ζ)

で定義される系 ((2,＋,×),(,＋,×),×) において，

１＝(１,０)，ｉ＝(０,１)
とおく。このとき，
(ξ,η)＝１×ξ＋ｉ×η

特に，(2,＋,×) は実数体 (,＋,×) の上の二元体。そこで，数の系 (2,＋,×) を（“二元数の系”の意義から）“複素数”と呼ぶ。またこの系の中の2をと書く。


（註１） (ｘ,ｙ)＝(ｓcosｔ,ｓsinｔ)，(ξ,η)＝[ρ,θ] とすると，
(ｘ,ｙ)#(ξ,η)
＝(ｓcosｔ,ｓsinｔ)#[ρ,θ]
＝(ｓρcos(ｔ＋θ),ｓρsin(ｔ＋θ))
＝(ｓρ(cosｔcosθ−sinｔsinθ),
　 ｓρ(sinｔcosθ＋cosｔsinθ))
＝((ｓcosｔ)(ρcosθ)−(ｓsinｔ)(ρsinθ),
　 (ｓsinｔ)(ρcosθ)＋(ｓcosｔ)(ρsinθ))
＝(ｘ×ξ−ｙ×η,ｙ×ξ＋ｘ×η)

(註２)
  1. (ｘ,ｙ)#(ξ,η)＋(ｘ,ｙ)#(ξ′,η′)
    ＝(ｘ×ξ−ｙ×η,ｘ×η＋ｙ×ξ)
    　(ｘ×ξ′−ｙ×η′,ｘ×η′＋ｙ×ξ′)
    ＝((ｘ×ξ−ｙ×η)＋(ｘ×ξ′−ｙ×η′),
    　 (ｘ×η＋ｙ×ξ)＋(ｘ×η′＋ｙ×ξ′))
    ＝(ｘ×(ξ＋ξ′)−ｙ×(η＋η′),
    　(ｘ×(η＋η′)−ｙ×(ξ＋ξ′))
    ＝(ｘ,ｙ)#(ξ＋ξ′,η＋η′)
  2. ((ｓcosｔ,ｓsinｔ)#[ρ,θ])#[ρ′,θ′]
    ＝(ｓρcos(ｔ＋θ),ｓρsin(ｔ＋θ))#[ρ′,θ′]
    ＝(ｓρρ′cos(ｔ＋θ＋θ′),
    　 ｓρρ′sin(ｔ＋θ＋θ′))
    ＝(ｓcosｔ,ｓsinｔ)#[ρ×ρ′,θ＋θ′]
  3. [ρ,θ]×[ρ′,θ′]
    ＝[ρ×ρ′,θ＋θ′]
    ＝(ρρ′cos(θ＋θ′),ρρ′sin(θ＋θ′))
    ＝(ρcosθ,ρsinθ)#[ρ′,θ′]
    ＝[ρ,θ]#[ρ′,θ′]