8.1.2 “数の拡張”と比例関数


　(Ｎ,＋,×) が ，+［，］であるとき，(Ｎ,＋,×) を係数の系とする量の系Ｑ1，Ｑ2 に対する比例関数ｆ：Ｑ1─→Ｑ2 は，つぎの条件で特徴づけられる (註1)：
  1. ｆ(ｘ×ｎ)＝ｆ(ｘ)×ｎ　(ｎ∈［])(註2)
  2. Ｎ＝+［］のときは，さらにｆが連続であること．



（註１） (1) Ｎ＝［］の場合：
　ｆ(ｘ×ｎ/ｍ)＝ｆ(ｘ)×ｎ/ｍが成り立つことを示す。
　ｘ×ｎ/ｍ＝ｙとすると，あるｖ∈Ｑ1 に対し，ｘ＝ｖ×ｍ，ｙ＝ｖ×ｎ。条件から，ｆ(ｘ)＝ｆ(ｖ×ｍ)＝ｆ(ｖ)×ｍ，ｆ(ｙ)＝ｆ(ｖ×ｎ)＝ｆ(ｖ)×ｎ。これは，ｆ(ｘ)×ｎ/ｍ＝ｆ(ｙ)，ｆ(ｘ)×ｎ/ｍ＝ｆ(ｘ×ｎ/ｍ) を示す。



　(2) Ｎ＝+［］の場合：
　量としての+［］に対する比例関数ｆ：+ ─→+［─→］が，条件 (i),(ii) で特徴づけられることを示せばよい。
　先ず，
ｆ(lim(ｑi/ｐi))＝ｆ(１)×lim(ｑi/ｐi)
が成り立つ。実際，ｆの連続性から，
ｆ(lim(ｑi/ｐi))＝lim(ｆ(ｑi/ｐi))
また，ｆの［］への制限を考えれば，(1) より
ｆ(ｑi/ｐi)＝ｆ(１×ｑi/ｐi) ＝ｆ(１)×ｑi/ｐi
であり，これから
lim(ｆ(ｑi/ｐi))＝ｆ(１)×lim(ｑi/ｐi)
　そこで，ｘ＝lim(ｑi/ｐi)，ξ＝lim(ｎi/ｍi) に対し，
ｆ(ｘ×ξ)
＝ｆ(lim(ｑi/ｐi)×lim(ｎi/ｍi))
＝ｆ(lim(ｑi/ｐi×ｎi/ｍi))
＝ｆ(１)×lim(ｑi/ｐi×ｎi/ｍi)
＝ｆ(１)×lim(ｑi/ｐi)×lim(ｎi/ｍi)
＝ｆ(lim(ｑi/ｐi))×ξ
＝ｆ(ｘ)×ξ。

（註２） これは，算数科における比例関係の表現：
“一方が２倍，３倍，････ に変わるとき，もう一方も２倍，３倍，････に変わる”
そのものである。