Up 何をすることがモデルをつくることか？──「自然数のモデル」で考える 作成: 2011-10-06
更新: 2011-10-07

    数学の「自然数」は，日常生活での「1, 2, 3, ‥‥」の使用を出自とする。
    この使用に構造を見て，これを数学にしようとする。
    到達した形が，つぎの定義である：

    1. 自然数の系の定義
        自然数の系は，先ず，集合 と， の一つの要素１と，関数ｆ: ─→ の組
        （ ,1,ｆ）　　　　　
        であり，そしてこれについて，以下のことが成立している：

          1°　ｆ(ｘ)＝１となる の要素ｘは存在しない；
          2°　 の要素ｘ,ｙについてｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)ならばｘ＝ｙ；
          3°　 の部分集合 ′ は，つぎの条件を満たすとき，実は と一致している：
            １が ′ の要素になっている；
            ｘが ′ の要素のとき，ｆ(ｘ)も ′ の要素．

    2. 算法の定義
      1. 加法 (和) の定義
          1° ｘ＋1＝ｆ(ｘ)
          2° ｘ＋f(ｙ) ＝ f(ｘ＋ｙ))
          　 (言い換えると，ｘ＋(ｙ＋1)＝(ｘ＋ｙ)＋1 )
      2. 乗法 (積) の定義
          1° ｘ×1＝ｘ
          2° ｘ× f(ｙ) ＝ ｘ×ｙ＋ｘ
          　 (言い換えると，ｘ×(ｙ＋1)＝ｘ×ｙ＋ｘ )

    ここで，自然数の系の定義におけるつぎの設定は，「系列」という形を定めている条件をそのまま (但し，上手に還元して) 示したものである：
    1. １の導入 （「系列の最初の項」と読まれることを想定)
    2. 関数ｆの導入 (「f(x)」が「ｘの後者」と読まれることを想定)
    3. 条件 1゜と 2゜

    これに対し，条件３゜(「数学的帰納法」) は異質に感じられる。
    条件３゜が求められるのは，系列の無際限に続く項に対して，一般命題をつくらねばならないからである。 特に，日常の自然数の計算でアタリマエにしている算法の結合法則，交換法則を，一般命題として保証しようとすると，３゜のような条件の導入が必要になる。

    ３゜の導入は，算法の結合法則，交換法則等をいちいち自然数の条件として定めていくよりは，はるかに気の利いたものになっている。 納得できる内容 (「ドミノ倒し」のロジック) であり，そして射程が広い。
    実際，３゜の導入によって，算法の法則は定理 (真であることが証明される命題) になる。


    数学は，「これは自然数だ」「これが自然数だ」を言わない。
    数学は，つぎのような言い方しかしない：
      「自然数において，つぎのことが成り立つ：‥‥」

    数学は，自然数をつくって示すことを，自分の仕事とはしない。
    なぜか？
    数学をはみ出てしまうからである。
    自然数をつくる論は，超数学になってしまうのである。


    自然数をつくることは，数学の自然数のモデルをつくることと見なせる。
    しかし，自然数をつくるとは，何をどこまですることなのか？
    これを，ここで問題にする。


    日常生活の「1, 2, 3, ‥‥」は，数学の自然数の出自である。 この「1, 2, 3, ‥‥」は，，生成文法の方法を用いて再現できる。 すなわち，系列「1, 2, 3, ‥‥」の定義と，この上の算法の定義を，生成文法で書くことができる。

    しかしこの場合，算法の結合法則，交換法則のような一般命題は，＜成り立つこと＞として示すことはできない。
    このことに対し，つぎの問いが立つ：
      これを，「モデルとして不足」と思うべきか
      「モデルはこんなもんだ」と思うべきか

    《「こんなもんだ」と思うべき》の考え方は，《これで日常生活の「1, 2, 3, ‥‥」が過不足無く再現されている》である：
    　 実際，日常生活の「1, 2, 3, ‥‥」は，結合法則，交換法則が証明できない。
    そしてそのことで困ったことはない。
    なぜなら，数が具体的に与えられれば，結合法則，交換法則は証明できるからである。
    問題は，「数が具体的に与えられれば」と「任意の数に対し」の間の階梯を埋められないということであるが，こんなことは生活の上ではどうということはない。 生活では，「数が具体的に与えられれば」と「任意の数に対し」は同じことなのである。

    《「不足」と思うべき》の考え方は，「不足」を埋めるために，つぎをセットにした理論をつくろうとする：
    1. 生成文法の方法で，「1, 2, 3, ‥‥」とこの上の算法を定義する。
    2. 推論規則と公理を導入して，算法の結合法則，交換法則が定理として証明されるようにする。

    このとき頭を悩ますことになるのは，公理を何にするかという問題である。
    結合法則，交換法則を公理にしてしまうのは，ご都合主義の感がある。 実際，「任意の数に対し」を言えるためだけにする公理の導入である。
    「1, 2, 3, ‥‥」をつくった上で，なぜさらに「任意の数に対し」をやらねばならないのか？ そもそも，「1, 2, 3, ‥‥」をつくったということは，「数が具体的に与えられるようにする」ということではないか。 そして，具体的に与えられた数に対し，結合法則，交換法則は成り立つのである。

    しかも，この理論づくりは何のためか？
    すなわち，理論ができたとして，これの機能は何か？
    実際，「1, 2, 3, ‥‥」の形式は，既に数学が「自然数」の主題で回収し明示しているのである。 この上，なぜ理論が必要なのか？