Up | English 求和の一般公式  

      数の和は 倍の和として定められます。そこで分数の場合，つぎのようになります ( 倍は，長方形のヨコの長さに関する倍)：




      この関係が成り立つようにするには，分数の和をどのように定めたらよいでしょう？
      そこで実際に「2/3 ＋ 5/4」が表す分数を求めてみます。

      1. 「 2/3 ＋ 5/4」が表す分数「?/?」を求めるとは，どういうことか？



      2. それは，つぎのような量ｖを求めること：



      3. 分数 2/3，5/4 の意味により，つぎのような量 ａ1, ｂ1 がとれる：



      4. ａ1 とｂ1 を共約する量としてｖが求まればよい。
        ──ａ1 の3 倍とｂ1 の4 倍が同じであることが，ｖを求めるヒント：



      5. ４倍してａ1 になる量と３倍してｂ1 になる量は，同じ。
        これが，ａ1 とｂ1 を共約する量ｖになる。



      6. ａはｖの ４×２倍，ｂはｖの３×５倍。よって，ａ＋ｂはｖの ( ４×２＋３×５) 倍。 また，ｕはｖの３×４倍。



      7. これで，分数「?/?」が求まった：


        そしてこの例から類推して，求和の公式がつぎのようになることがわかります：





      通分

      量ｖは，「ａ1, ｂ1 に共通の分割を求める」という方針で求めています。
      ｖを得て，このｖから 比 2/3 : ｕ→ａ，5/4 : ｕ→ｂ を見るとき，２つの比はそれぞれ ( ４×２)/( ４×３)， ( ３×５)/( ３×４) になっています。
      特に，(2/3) ＋ (5/4) は，( ４×２)/( ４×３) ＋ ( ３×５)/( ３×４) になります。



      これは何を意味しているでしょう？
      「ａ1, ｂ1 に共通の分割を求める」は，「分数 2/3，5/4 を通分する」に対応するということです。
      つまり，つぎの形をつくっているわけです：



      この形の和の場合，求和公式はつぎのようになります：




      以下が，この求和公式の理由です：





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