Up 求商公式の指導 作成: 2011-08-03
更新: 2011-08-23

主題研究：分数の求商公式

    ここでは，＜数は量の比＞を立場とするときの「分数の割り算」の指導法を示す。

    1. 学習内容のアナウンス

        本時は，「分数の割り算」を勉強します。
        「割り算」のことばは，知っています。
        分数は，これまでやってきました。
        「分数の割り算」をそのまま書けば :「2/3÷5/4」
        「2/3÷5/4」の (1) 意味と (2) 計算の仕方を勉強します。


    2. 「2/3÷5/4」の意味の学習

        「÷」の使い方を確認しましょう。
        「12×□＝276」「□×12＝276」の□を求める式を，「276÷12」と書きました。
        これが「÷」の使い方です。
        (要件：記号「÷」のこの意味が既習)
        練習
        • 5×□＝35，□×5＝35 → 35÷5
        • 35÷5 → 5×□＝35，□×5＝35

        「2/3÷5/4」の意味は，どうなるでしょう？
        5/4×□＝2/3，□×5/4＝2/3 の□が 2/3÷5/4，ということになりますね。
        練習


    3. 「2/3÷5/4」の計算のきまりを覚える

        計算の仕方を自力で見つけるのは，実は難しいです。
        　( 分数の求商公式の導き方)
        そこで，計算の仕方 (こたえ) を先に教えちゃいますね：
          2/3÷5/4＝2/3×4/5 (「ひっくり返して掛ける」)

        言い回しを覚えましょう：
          「分数の割り算は，割る方の分数をひっくり返して掛ける」

        練習


    4. 「ひっくり返して掛ける」が確かにきまりになることの確認

      1. 5/4×□＝2/3，□×5/4＝2/3 の□が，2/3÷5/4。
        2/3÷5/4 は 2/3×4/5 だと言いました。
        2/3×4/5 を□に入れて，本当に等式が成り立つかな？

      2. □×5/4＝2/3 の□に 2/3×4/5 を入れてみましょう。
        2/3×4/5×5/4＝2/3 の式になりました。
        左辺に３つの分数が並んでいます。
        この意味は何でしょう？

      3. ２×３×４の意味は何だったでしょう？
        この意味は，「２倍して３倍して４倍」。
        ２倍して３倍して４倍は１２倍だから，２×３×４＝12。
        (要件：記号「×」のこの意味が既習)

        　注意 : 学校数学は，数の積を＜倍の合成＞として指導しないことになっている。 すなわち，「数は量の抽象」の立場から，数の積を「単位当たり量 × いくつ分」で教えている。 これだと，２×３×４ の解釈につぎのように窮することになるのだが，この不都合については目をつむるふうになっている。

          　　2　　 × 　　3　　 × 　　4　　
          ↑ ↑ ↑
          単位当たり量 いくつ分 ？

        分数も同様です。
        2/3×4/5×5/4 の意味は，「2/3倍して4/5倍して5/4倍」。
        これは，言い換えると，「＜３等分して２つ＞をして，＜5等分して４つ＞をして，＜４等分して５つ＞をする」。
        そして，2/3×4/5×5/4＝2/3 ということは，これが＜３等分して２つ＞になるということ。
        ほんとうにこうなっているかな？

        図でやってみよう。


        4/5×5/4 のところに注目しよう。
        ＜5等分して４つ＞をしてつぎに＜４等分して５つ＞をすると？
        元に戻る。
        つまり，変わらない。
        (要件：「分数倍の逆倍」が既習)
        2/3×4/5×5/4 から 4/5×5/4 が無くなるから， 2/3 が残る。
        ということで，2/3×4/5×5/4 は，2/3。

      4. 5/4×□＝2/3 の方は，どうだろうか？
        5/4×□＝2/3 の□に 2/3×4/5 を入れてみる。
        ただし，今度は 2/3×4/5 のかわりに 4/5×2/3 を入れると，うまくいきます。
        (要件 :「積の可換性」が既習)

        5/4×4/5×2/3＝2/3 の式になりました。
        5/4×4/5×2/3 の意味は，＜４等分して５つ＞をして，＜5等分して４つ＞をして，＜３等分して２つ＞をする。

        図でやってみよう。


        5/4×4/5 はどうなる？
        ＜４等分して５つ＞をして，つぎに＜5等分して４つ＞をすると？
        変わらない。
        5/4×4/5×2/3 から 5/4×4/5 が無くなるから， 2/3 が残る。
        ということで，5/4×4/5×2/3 は，2/3。


    5. 練習


    6. 本時の学習内容の確認
      1. 5/4×□＝2/3，□×5/4＝2/3 の□が，2/3÷5/4。
      2. 「分数の割り算は，割る方の分数をひっくり返して掛ける」
          2/3 ÷ 5/4 ＝ 2/3 × 4/5


    現行の指導法は，＜数は量の抽象＞が立場である。 ただし，実際には＜数は量の比＞を都合よく混用している。
    　 「分数の割り算を，ここでは包含除で教えることにする」という言い回しに出会うことがあるが，「＜数は量の比＞を都合よく混用」の典型的な例がこれである。

    数学は，＜数は量の比＞である。
    本指導法は，この数学を直接指導するものなので，「一般的」で「シンプル」になる。 そのかわり「難しい」(？)。
    現行の指導法は，数学を外しているので，「特殊な場面設定が必要」で「複雑」になる。 そのかわり「易しい」(？)。

    さて，現行の指導法は「数学の教育的方便」として十分に割の合うものなのかどうか？
    ここは読者自らが判断されたい。