数の積の意味が生徒に伝えられる形は，一つが「かたまり × いくつ」であり，そしてもう一つが，つぎの「数直線」が説明図式として用いられるところの，「１あたり量 × いくつ分」である：
以下，この「１あたり量 × いくつ分」の数学を示す。
体積(系)，重さ(系) を，( (Q体積, ＋), ×, (N, ＋, ×) )，( (Q重さ, ＋), × とする。
体積と重さの間の比例関係全体は，量になる：
( (Hom( Q体積, Q重さ), ＋), ×, (N, ＋, ×) )
ここで，
- f, g ∈ Hom( Q体積, Q重さ) に対し，
(f ＋ g)( x ) ＝ f( x ) ＋ g( x ) ( x ∈ Q体積 )
- f ∈ Hom( Q体積, Q重さ)，ｎ∈ N に対し，
(f × ｎ)( x ) ＝ f( x ) × ｎ ( x ∈ Q体積 )
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「１あたり量 × いくつ分」は，「×」の意味を，Hom( Q体積, Q重さ) × Q体積 の Q重さ への写像：
( f, x ) ├─→ f( x ) ( f ∈ Hom( Q体積, Q重さ)，x ∈ Q体積 )
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に定めていることになる。
なぜ，ここで「×」の登場になるのか？
この写像 (Ｆとする) は，複比例関数になっている。
そして，Q体積 と Q重さ の単位を定め，この単位に準じて Hom( Q体積, Q重さ) の単位を定めるとき，Ｆから導かれる数値の関数：
( 体積単位あたり重さの数値，体積の数値 ) ├─→ 重さの数値
は，２数にその積が対応するものになる：
例えば，体積の単位に cm3，重さの単位に ｇをとるときは，ｇ/cm3 を Hom( Q体積, Q重さ) の単位にする。
このとき，
Ｆ( ｇ/cm3 × 2,
cm3 × 3 )
＝ ( ｇ/cm3 × 2 )
( cm3 × 3 )
＝ (ｇ/cm3) (cm3 ) × ( 2 × 3 )
＝ ｇ × ( 2 × 3 )
この結果を見て，「×」を使っているわけである。
このように，「１あたり量 × いくつ分」における数の積の立式は，これを数学にすると，「F(f, x) に対する数の積の立式」ということになる。
もっとも，「数の積は量の積の抽象」の立場では，数の積の立式は直接的であり，式の導出の明証は無用のものになる。
実際，「抽象」を謂う所以である。
「抽象」は，「存在の事実の捉えとこれの記述」であるから，明証するというものではないわけである。
| 註 : |
「１あたり量 × いくつ分」は，「数の積は量の積の抽象」の立場である。
そして，「数の積は量の積の抽象」の立場は，＜数は量の抽象＞の立場である。
＜数は量の抽象＞は，「量の積」として「１あたり量 × いくつ分」の概念を立てる。
そして，この「量の積」の意味を，「内包量と外延量の積」とする。
「内包量」が「１あたり量」と同じものであることを，「速度」を例に，見ておこう。
「速度」は，＜数は量の抽象＞の立場において，内包量となる。
そして，「速度」の図式は，つぎのように「１あたり量」の図式に他ならない：
ところで，「内包量」は，「足せない」で特徴づけられている。
特に，内包量である速度は，足せない。
一方，「内包量」は，比例関係に他ならない。
したがって，これは量になる。
足したり倍したりできる。
実際，われわれは，速度を日常的に足したり倍したりしている。
このように，「内包量」は，＜数は量の抽象＞が自家撞着を曝す主題になっている。
ただし，この自家撞着を見て取るには，数学が必要になる。
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