\[ {\bf v'} - {\bf v} \\ = v\ ( \\ - sin( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t ) cos(\Omega \Delta t) \\ - cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) cos(\Omega \Delta t)\\ - cos( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ + cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ , \\ \ \\ cos( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ cos(\Omega \Delta t) \\ - cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ cos(\Omega \Delta t) \\ - sin( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ - cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ , \\ \ \\ sin( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t ) \\ - sin( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \\ ) \\ \ \\ - v\ ( - \ sin( P_a ),\ cos( S_a )\ cos( P_a ),\ sin( S_a )\ cos( P_a ) \\ \ \\ = v\ ( \\ - sin( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t ) cos(\Omega \Delta t) \\ - cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) cos(\Omega \Delta t)\\ - cos( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ + cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ + sin( P_a ) , \\ \ \\ cos( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ cos(\Omega \Delta t) \\ - cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ cos(\Omega \Delta t) \\ - sin( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ - cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ - cos( S_a )\ cos( P_a ) , \\ \ \\ sin( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t ) \\ - sin( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \\ - sin( S_a )\ cos( P_a ) ) \\ \] \( ( v'_x - v_x ) /v \)： \[ - sin( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t ) cos(\Omega \Delta t) \\ - cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) cos(\Omega \Delta t)\\ - cos( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ + cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ + sin( P_a ) \\ \ \\ = - sin( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t ) cos(\Omega \Delta t) \\ + sin( P_a ) \\ - cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) cos(\Omega \Delta t)\\ + cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \\ - cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \\ - cos( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ + cos( S_a )\ cos( P_a )\ sin(\Omega \Delta t) \\ - cos( S_a )\ cos( P_a )\ sin(\Omega \Delta t) \\ + cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ \ \\ = sin( P_a )\ ( 1 - cos( (v/R) \Delta t ) cos(\Omega \Delta t) ) \\ + cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) ( 1 - cos(\Omega \Delta t) )\\ - cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \\ + cos( S_a )\ cos( P_a )\ sin(\Omega \Delta t)\ ( 1 - cos( (v/R) \Delta t ) ) \\ - cos( S_a )\ cos( P_a )\ sin(\Omega \Delta t) \\ + cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ \] \( ( v'_x - v_x ) /v / \Delta t \)： \[ sin( P_a )\ \frac{ 1 - cos( (v/R) \Delta t ) cos(\Omega \Delta t) }{\Delta t} \\ + cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \frac{ 1 - cos(\Omega \Delta t) }{\Delta t}\\ - cos( P_a )\ (v/R) \frac{ sin( (v/R) \Delta t ) }{(v/R) \Delta t} \\ + cos( S_a )\ cos( P_a )\ \Delta t\ \frac{ sin(\Omega \Delta t) }{\Delta t}\ \ \ \frac{ 1 - cos( (v/R) \Delta t ) }{\Delta t} \\ - cos( S_a )\ cos( P_a )\ \Omega \frac{ sin(\Omega \Delta t) }{\Omega \Delta t} \\ + cos( S_a )\ sin( P_a )\ \Delta t\ \frac{ sin( (v/R) \Delta t ) }{\Delta t}\ \ \ \frac{ sin(\Omega \Delta t) }{\Delta t} \\ \ \\ \ \\ \longrightarrow - cos( P_a )\ (v/R) - cos( S_a )\ cos( P_a )\ \Omega \ \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \] \( v'_y - v_y ) /v \)： \[ cos( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ cos(\Omega \Delta t) \\ - cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ cos(\Omega \Delta t) \\ - sin( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ - cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ - cos( S_a )\ cos( P_a ) \\ \ \\ = cos( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ cos(\Omega \Delta t) \\ - cos( S_a )\ cos( P_a ) - cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ cos(\Omega \Delta t) \\ + cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \\ - cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \\ - sin( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ + sin( P_a )\ sin(\Omega \Delta t) \\ - sin( P_a )\ sin(\Omega \Delta t) \\ - cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ \ \\ = - cos( S_a )\ cos( P_a )\ ( 1 - cos( (v/R) \Delta t )\ cos(\Omega \Delta t) )\\ + cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ ( 1 - cos(\Omega \Delta t) )\\ - cos( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \\ + sin( P_a ) ( 1 - \ cos( (v/R) \Delta t ) ) \ sin(\Omega \Delta t) \\ - sin( P_a )\ sin(\Omega \Delta t) \\ - cos( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t )\ sin(\Omega \Delta t) \\ \] \( ( v'_y - v_y ) /v / \Delta t \)： \[ - cos( S_a )\ cos( P_a )\ \frac{ 1 - cos( (v/R) \Delta t )\ cos(\Omega \Delta t) }{\Delta t} \\ + cos( S_a )\ sin( P_a )\ \Delta t\frac{ sin( (v/R) \Delta t )}{\Delta t}\ \ \ \ \frac{ 1 - cos(\Omega \Delta t) }{\Delta t} \\ - cos( S_a )\ sin( P_a )\ (v/R) \frac{ sin( (v/R) \Delta t )}{(v/R) \Delta t} \\ + sin( P_a )\ \Delta t \frac{ 1 - \ cos( (v/R) \Delta t ) }{\Delta t} \ \ \ \ \frac{ sin(\Omega \Delta t) }{\Delta t} \\ - sin( P_a )\ \Omega \frac{ sin(\Omega \Delta t) }{\Omega \Delta t} \\ - cos( P_a )\ \Delta t \frac{ sin( (v/R) \Delta t )}{\Delta t}\ \ \ \ \frac{ sin(\Omega \Delta t) }{\Delta t} \\ \ \\ \ \\ \longrightarrow - cos( S_a )\ sin( P_a )\ (v/R) - sin( P_a )\ \Omega \ \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \] \( ( v'_z - v_z ) /v \)： \[ sin( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t ) \\ - sin( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \\ - sin( S_a )\ cos( P_a ) \\ \ \\ = sin( S_a )\ cos( P_a )\ cos( (v/R) \Delta t ) \\ - sin( S_a )\ cos( P_a ) \ \\ - sin( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \\ \ \\ = - sin( S_a )\ cos( P_a )\ ( 1 - cos( (v/R) \Delta t ) ) \\ - sin( S_a )\ sin( P_a )\ sin( (v/R) \Delta t ) \\ \] \( ( v'_z - v_z ) /v / \Delta t \)： \[ - sin( S_a )\ cos( P_a )\ \frac{ 1 - cos( (v/R) \Delta t ) }{\Delta t} \\ - sin( S_a )\ sin( P_a )\ (v/R) \frac{ sin( (v/R) \Delta t ) }{ (v/R)\ \Delta t} \\ \ \\ \ \\ \longrightarrow - sin( S_a )\ sin( P_a )\ (v/R) \ \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \] 結局， \[ \frac{ {\bf v'} - {\bf v} }{v} \\ \longrightarrow \\ ( - cos( P_a )\ (v/R) - cos( S_a )\ cos( P_a )\ \Omega, \\ - cos( S_a )\ sin( P_a )\ (v/R) - sin( P_a )\ \Omega, \\ - sin( S_a )\ sin( P_a )\ (v/R) ) \\ \ \ \ ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \] 備考： \[ \frac{1}{\Delta t}\ ( 1 - cos( a\ \Delta t )\ cos( b\ \Delta t ) ) \\ \ \\ = \frac{1}{2 \Delta t}\ ( 2 - ( cos( (a + b)\ \Delta t ) + cos( (a - b)\ \Delta t ) ) ) \\ \ \\ = \frac{1}{2 \Delta t}\ \Bigl( ( 1 - cos( (a + b)\ \Delta t ) + ( 1 - cos( (a - b)\ \Delta t ) ) ) \\ \ \\ = \frac{1}{2}\ \Bigl( (a + b)^2\ \Delta t\ \frac{ 1 - cos( (a + b)\ \Delta t ) }{ ( (a + b)\ \Delta t )^2 } \ \ \ \ \ + (a - b)^2\ \Delta t\ \frac{ 1 - cos( (a - b)\ \Delta t ) ) }{ (a - b)\ \Delta )^2 } \ \ \ \ \ \Bigr) \\ \ \\ \longrightarrow 0 \quad ( \Delta t \longrightarrow 0 ) \]